4 décembre 2020

matrice d'une application linéaire

f(e1) = 3e’1 + 4e’2 —, Mais attention !!! La matrice identité Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : exo7 matrice d’une application linéaire corrections d’arnaud bodin. DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 août 2017 à 13:56 Représentation matricielle des applications linéaires Table des matières 1 Matrice d’une application linéaire 2 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A. . Propriétés. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. exercice soit r2 muni de la base canonique soit r2 r2 la projection sur l’axe des abscisses —. Bonus (à 10'45'') : Définition de la matrice d'une application linéaire. On aura donc les formules : Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire ... Si E et F sont de dimension finie et ƒ est représenté par la matrice A, alors le rang de ƒ est égal au rang de la matrice A ; une telle applicaiton linéaire est un tenseur (Tenseur) d'ordre 2, … . Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). 2 1.2 Rang d’une application linéaire. Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. La matrice dépend évidemment des bases et . Soit une application linéaire de dans , étant un espace vectoriel de dimension avec pair. Exo7 Matrice d’une application linéaire Corrections d’Arnaud Bodin. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Sommaire. Dans ce chapitre, E , F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K , munis chacun d'une … Exo7. —. Pour voir la suite de cette page, vous devez : {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}, {v_j=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\,\varepsilon_i}, {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\! Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — . —. 1.1. La correspondance entre application linéaire et matrice … En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! Exercices. Changer de système de coordonnées pour trouver plus facilement la matrice d'une application. Matrice d'une application linéaire par rapport à une base. Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Matrice d’une application linéaire Chapitre 4 Exemple 2. Une application f de Edans F est linéaire si l'image d'une combinaison linéaire 1u 1 + + ku k quelconque de vecteurs de Eest égale à la combinaison linéaire 1f(u 1)+ + kf(u k) des images de ces vecteurs par f. L'application nulle, qui à tout vecteur de Eassocie le vecteur nul 0 F de F, est linéaire. Les matrices de passage Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. Si {f\in\mathcal{L}(E,F)} est définie par {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}} alors {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}. e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 Soit f : R2!R2 la projection sur l’axe des abscisses R~i parallèlement à R(~i+~j). — Exercice 1 Soit R2 muni de la base canonique B = (~i;~j). En algèbre linéaire , la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies , étant donné le choix d'une … Exemple : supposons que l’ont ait : Matrice d'une application linéaire 1 | Informations [1] Marie-Claude,David - Licence : GNU GPL. Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). . Théorème. Matrices d'une projection dans différentes bases. Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… c) Déterminer le noyau et l’image de . f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Matrice d'une application: Définition. Cette matrice A définit entièrement l’application f. De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Matrice d'une application linéaire En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. Représentation d’une application linéaire. Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. Allez à : … Par exemple, si {n=3}, {j=2}, et si {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\!} B = P-1AP f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : O est le centre de la rotation, θ son angle. on a {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}On notera {[v]_\varepsilon} la matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur {v} de {E} dans la base {(\varepsilon)}. —. application, linéaire. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Attention ! Dé nition6 Matrice d'un endomorphisme Exemple d'une autre matrice de passage. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : (a) Former la matrice de l’endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base (1, i). Soit A = 0 BB BB BB B@ 1 1 1 1 1 2 1 0 5 1 CC CC CC CA A est une matrice carrée d’ordre 3 et on a Tr(A) = 1+1+5 = 7. Notation Mate,f (u). f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X En effet : (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). On vérifiera que le rang de cette matrice est égal à la dimension de l'espace image. — Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! Questions Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases et , respectivement. Autrement dit, deux applications linéaires fet gde L(E;F) sont égales si et seulement s'il existe une base Bde Eet une base B0de Ftelle que : mat B;B0(f) = mat B;B0(g) R3 La matrice d'un endomorphisme est une matrice carrée. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). — Matrice/Matrice d'une application linéaire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Introduction Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. La matrice d'une application linéaire de dans est la matrice définie par : . Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4. Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — . e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 Matrice d'une application linéaire dans différentes bases Changement de base théorique Matrice de changement de bases : définition. Utiliser une matrice pour définir une application linéaire. Dans ce chapitre nous étudions les propriétés d'une application linéaire et en particulier sa représentation matricielle dans des bases fixées. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Exemple : matrice d’une rotation d’angle θ dans le plan ( i , j) Ici, on est dans un repère orthonormé (O , i , j) . De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! (b) Déterminer image et noyau de f . Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Matrice d'une application linéaire 1 Question. ... Déterminer la matrice de de la base dans la base . Wikipédia possède un article à propos de « Matrice d'une application linéaire ». Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. Tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire Ce chapitre est l’aboutissement de toutes les notions d’algèbre linéaire vues jusqu’ici : espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices. e3 = 01 + 0e2 + 1e3 C'est " matrice d'une linéaire u de E vers F dans les bases a de E et b de F" qui en a un (de sens) Ici il faut préciser les matrices choisies : … Déterminer Mat B;B(f), la matrice de f dans la base (~i;~j). Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. On peut aussi multiplier les matrices de passage. ATTENTION !! Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. R2 La matrice d'une application linéaire dans des bases Bde Eet B0de Fest unique. —. Voyons un exemple d’application concret. Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! Si {v=(v_{j})_{1\le j\le p}}, on peut donc écrire : {A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. Navigation : Précédent | Suivant. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. — . a) Matrice d’une application linéaire dans des bases Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. Comment calculer simplement et efficacement la matrice d'une application linéaire (dans la base canonique)

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4 décembre 2020

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